勾配の計算から理解する、機械学習における微分の基礎

機械学習のトレーニングには、「勾配降下法」や「誤差逆伝播法」などの、勾配計算プロセスを用います。

そして、これらは微分を用いて計算されます。

今回は、勾配計算の基礎を理解するため、「機械学習における勾配の仕組み」と「微分がどのように使われているか」を解説していこうと思います！

実装環境

まず、実装環境です！

Colaboratory 上で、以下をインポートしています。

1#実装環境
2%matplotlib inline
3import matplotlib.pyplot as plt
4import numpy as np

微分の基礎をふりかえる

まず簡単に、微分の復習から始めましょう！

公式を用いることで、微分の計算は比較的容易にできると思います。

ですが、大事なのは「微分がどのような処理を行っているか？」を理解することです。

微分では、変数の微小な変化を考え、それによって関数がどう変化するかを調べます。

下の図は、「関数 f (x)」のグラフに対する微分を考えており、微分の過程を表した図なります。

「変数 x」の変化量を「h」とすると、この間（ x と x＋h ）を結ぶ直線の傾きを求めることができます。

微分では、微小変化を考えたいので、「h」を限りなくゼロに近づけていきます。

すると、「x」の点で接する接線の傾きを求めることができ、瞬間的な傾きという変化量を得ることができます。

これを式にすると、以下のようになります。

$$\frac{df(x)}{dx}=\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

ここで、「h」を限りなくゼロに近づけることを、「極限」と呼び、「$lim$」で表されます。

ですが実際には、コンピュータ上で限りなくゼロに近い変化を表すことが難しいです。

そのため、下図のような中心差分を用いた数値微分により、計算されます。

Pythonで実装してみる

これを Python で実装すると、以下のようになります。

1#数値微分の定義
2def numerical_diff(f, x):
3    h = 1e-4 #微小変化
4    return (f(x + h) - f(x - h)) / (2 * h)

計算してみる

また、これを用いて計算します。

1#関数を定義
2def fun1(x):
3    return x ** 3
4
5#x=10の時の数値微分
6numerical_diff_10 = numerical_diff(fun1, 10)
7print(numerical_diff_10)

出力：300.00000000939053

「関数f」の x＝10 における、接線の傾きが計算されました！

ちなみに、この値を傾きとする接線をプロットしたものが、上の図になっています。

接線の描画コード

1#接線の関数定義
2def tangent_line(x, y, a):
3    b = y - a * 10
4    return a * x + b
5
6#描画（上の図では目盛りと目盛りラベルは消しています。）
7fig = plt.figure(figsize=(6, 5), dpi=100, facecolor="w")
8x = np.arange(0, 25, 0.1)
9y = fun1(x)
10y_tangent_line = tangent_line(x, fun1(10), numerical_diff_10)
11
12plt.plot(x, y, color="k")
13plt.plot(x, y_tangent_line, color="lightseagreen")
14plt.xlim([0, 20])
15plt.ylim([-2000, 5000])
16plt.xlabel('x')
17plt.ylabel('f(x)')
18plt.legend(["y = f(x)", "Tangent line"])
19
20plt.show()

一般的に、世の中の問題において、１つの変数で結果が決まることは少ないでしょう。

人工知能は、様々な「変数要因（多変数関数）」から分類を行ったり、結果を推測したりします。

そのため、機械学習では「偏微分」が使用され、以下の式で表されます。

$$\frac{\partial}{\partial x_n}f(x_1,x_2,...,x_n)$$

偏微分では、ある１つの変数にのみ注目し、その他の変数は定数として微分します。

これによって、ある１つの変数が微小変化した時の、関数の接線の傾きを計算します。

以上のように、微分を用いて求められる関数の傾きを、一般的に「勾配（Gradient）」と言います。

そして得られた勾配は、変数の増加に対して関数が増減する方向と量を意味しています。

この事から、勾配は「関数を減らす方向を指すベクトル」として表されます。

機械学習ではこれを利用し、目的関数を各パラメータで微分することで、目的関数の最小値を探します。

例えば「目的関数 L」に対して、「あるパラメータ w」で微分し、勾配が得られたとします。

この時のパラメータ更新は、以下の式で表されます。

$$w=w-\eta\frac{\partial f}{\partial w}$$

「目的関数 L 」の「パラメータ w」による微分$\frac{\partial L}{\partial w}$は、「w」を増加させると$\frac{\partial L}{\partial w}$だけ増加すると言えます。

そのため、減少させるには、元々の「w」から$\frac{\partial L}{\partial w}$を引くことで、減少方向への更新ができます。

また、$\eta$は「学習率（Learning rate）」と言い、勾配にかけることで、一回の学習でどの程度パラメータを更新するかを、調整するものです。

学習率は、予め人の手によって設定する必要がある「ハイパーパラメータ」であり、最適値を様々な値で試しながら探す必要があります。

パラメータの更新は、上記式を用いて「関数の最小値を示す勾配方向に向かって、関数の値を徐々に減らすよう」に行われます。

この手法を「勾配法」と言います。

機械学習の最適化プロセスでは、得られた勾配を用いて、上記の更新式でパラメータの値を更新します。

さらに、更新した先でまた勾配を求め、同じようにパラメータを勾配方向へ更新していきます。

これを繰り返すことで、以下の図のように、徐々に目的関数の最小値へと近づいていくのです。

パラメータを更新していった結果、関数の最小値では傾き（勾配）はゼロとなります。

つまり、その点が目標となるパラメータの値と言えます。

このように、徐々に最小値に近づいていく更新処理を、「勾配降下法（Gradient Descent Method）」と呼びます。

これは、機械学習（特にニューラルネットワークなど）の最適化問題においてよく使用されます。

さいごに

今回は、「勾配」と「微分」から、機械学習のパラメータ更新の仕組みについて解説しました。

実践的には、「勾配降下法」よりも高速な「誤差逆伝播法」など、計算方法は色々あります。

その導入の助けになればと思ってます！

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