t-SNE（ティースニー）を使い高次元データを可視化してみる

高次元のデータを可視化するには、高次元のデータを2〜3次元のデータに変換する必要があります。

有名な手法としては、例えば、以下のようなものがあります。

1. 主成分分析
2. 多次元尺度構成法
3. Isomap
4. LLE（Locally Linear Embedding）

これらの方法を用いれば、高次元のデータを低次元のデータに変換し、2〜3次元のデータとして可視化することができます。

変換にも限界がある

しかし、これらの方法には限界があります。

まず、「主成分分析」や「多次元尺度構成法」は線形変換を前提としているため、非線形な高次元データを低次元データに上手く落とし込むことができません。

また、「Isomap」や「LLE」は、データの局所的な構造と大局的な構造を、同時に低次元データへと表現することが難しいことが知られています。

問題点を解消する分析手法「t-SNE」の提案

そこで、これらの問題点を乗り越える、「t-SNE（ティースニー）」と呼ばれる分析手法が2008年に提案されました。

2008年の提案論文の詳細は、以下の論文を参照してください。

「Maaten Laurens van der., and Hinton Geoffrey., 2008, "Visualizing Data using t-SNE," Journal of Machine Learning Research 9: 2579-2605.」

それでは、「t-SNE」について解説し、「MNIST」を使った分析例を見ていきたいと思います！

「t-SNE」の概要

「SNE」とは？

「t-SNE」は、「SNE（Stochastic Neighbor Embedding）」をベースとしています。

そこで、まずは「SNE」について見ていきます。

「SNE」のポイントは、「2つ」です！

「SNE」のポイント１

１つ目のポイントは、高次元でのデータポイント間の距離を条件付き確率に変換することです。

高次元において、「データポイント$x_i$」から見た場合の「データポイント$x_j$との距離$p_{i|j}$」を、「データポイント$x_i$」を平均とした正規分布に従っていると仮定して、その距離（条件付き確率）を計算します。

具体的には以下のように計算します。

$$p_{i|j} = \frac{exp(-||x_i - x_j||^2 / 2 \sigma_i^2)}{\sum_{i≠k} exp(-||x_i - x_k||^2 / 2 \sigma_i^2)}$$

なお、正規分布の確率密度関数の$\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma_i ^ 2}}$部分は、分母と分子でうち消され合っていることに注意してください。

「SNE」のポイント2

2つ目のポイントは、上記で計算した高次元でのデータポイント間の距離（条件付き確率）と、できるだけ近い低次元でのデータポイント間の距離（条件付き確率）をとる点を見つけることです。

まず、低次元での「データポイント$y_i$」から見た場合の「データポイント$y_j$との距離$q_{i|j}$」を、$p_{i|j}$同様に以下のように表現します。

ただし、標準偏差は$\frac{1}{\sqrt{2}}$に固定しておきます。

$$q_{i|j} = \frac{exp(-||y_i - y_j||^2)}{\sum_{i≠k} exp(-||y_i - y_k||^2)}$$

このように計算された$q_{i|j}$と、上記の$p_{i|j}$を出来る限り同じにします。

カルバック・ライブラー情報量

両者はどちらも確率分布なので、「異なる確率分布間の距離の指標」である「カルバック・ライブラー情報量」と呼ばれる指標を用います。

このカルバック・ライブラー情報量をコスト関数として、それを最小化する「 $y$ 」 を見つけます。

こうして見つけられた「 $y$ 」が、高次元データ$x$の低次元データ変換後のデータポイントとして解釈できます。

「t-SNE」とは「SNE」から2つのポイントを改善した分析手法

以上が「SNE」のアイディアです。

「t-SNE」は SNE から2つのポイントを改善した分析手法なのです！

「t-SNE」のポイント１

最初のポイントは、距離に対称性を持たせることです。

SNE では$p_{i|j}$と$p_{j|i}$が、その定義から同じではありませんでした。

そこで、高次元データ上での「データポイント$x_i$」と、「データポイント$x_j$間の距離$p_{ij}$」を以下のように定義することで、その対称性を担保します。

$$p_{ij} = \frac{p_{i|j} + p_{j|i}}{2n}$$

「t-SNE」のポイント２

2つ目のポイントは、$q_{ij}$を表現する際に、正規分布ではなく自由度1の t 分布を使用することです。

すなわち、以下のように表現します。

$$q_{ij} = \frac{(1 + ||y_i - y_j||^2)^{-1}}{\sum_{k≠l}(1 + ||y_k - y_l||^2)^{-1}}$$

なぜ t 分布を用いるのか？

なぜ正規分布ではなく t 分布を用いるかというと、t 分布は正規分布に比べて裾が長いため、近いデータはより近くに、遠いデータはより遠くに表現できるためです。

t-SNE の「t」は、t 分布の「t」だったんですね！

以上、2つのポイントを SNE から変更したのが「t-SNE」です。

「t-SNE」を MNIST に適用

それでは、「t-SNE」を実際のデータに適用して分析してみましょう！

MNIST データの準備・確認

今回利用するデータは、おなじみの「MNIST」です。

「MNIST」には、訓練データが60,000枚、テストデータが10,000枚あり、1つ1つの画像には784（28×28）のデータが含まれています。

データ量が多いと計算に時間がかかってしまいます。

そのため、今回はテストデータ10,000枚を使用します。

ちなみに、別の話ですが、弊社ブロブでは、こんな「MNIST」記事も書いてます。

2020.01.23【PyTorch入門】PyTorchで手書き数字(MNIST)を学習させるPyTorchで手書き数字（MNIST）を学習させる前回は、PyTorch（パイトーチ）のインストールなどを行いました...

中身の確認

まずは、中身を確認しましょう。

テストデータとそのラベルはすでにX_test 、y_test に格納されているとします。

1# dataの確認
2print(X_test.shape)
3print(y_test.shape)
4print(type(X_test))
5print(type(y_test))

出力結果

出力結果は、こちらです。

1(10000, 784)
2(10000,)
3<class 'numpy.ndarray'>
4<class 'numpy.ndarray'>

画像の確認

では、先頭のデータは、どのような画像になっているのか確認してみましょう。

1# dataの確認
2import matplotlib.pyplot as plt
3plt.imshow(X_test[0].reshape(28, 28))

出力結果は、こうなりました。

「7」という手書き文字であることが確認できます。

print(y_test[0]) を実行し、ラベルデータで確認しておきましょう。

予想通り、出力結果は7 となるはずです。

「t-SNE」の適用・可視化

それでは、「t-SNE」を適用してみましょう！

今回は、2次元のデータに落とし込みます。

また、それ以外のハイパーパラメータは、ライブラリのデフォルトのままにしておきます。

下記の通りに実行すると、X_test に t-SNE を適用でき、得られた低次元データをX_tsne に格納できます。

1# t-SNEの適用
2from sklearn.manifold import TSNE
3tsne = TSNE(n_components = 2) # n_componentsは低次元データの次元数
4X_tsne = tsne.fit_transform(X_test)

結果の可視化

結果を可視化してみます！

可視化のためのコードは、下記の通りです。

2次元の散布図上に、文字を色分けしてプロットしています。

1# 結果の可視化
2import matplotlib.pyplot as plt
3colors = ['red', 'blue', 'green', 'pink', 'tomato', 'purple', 'black', 'olive', 'lightblue', 'lime']
4plt.xlim(X_tsne[:, 0].min(), X_tsne[:, 0].max() + 1)
5plt.ylim(X_tsne[:, 1].min(), X_tsne[:, 1].max() + 1)
6for i in range(len(X_test)):
7    plt.text(
8        X_tsne[i, 0],
9        X_tsne[i, 1],
10        str(y_test[i]),
11        color = colors[y_test[i]]
12        )
13plt.xlabel('t-SNE Feature1')
14plt.ylabel('t-SNE Feature2')

出力結果

出力結果です。

これを見ると、高次元データが低次元データへと綺麗にプロットされている様子がうかがえます。

t-SNE で出力された、この2つの特徴量を用いれば、画像分類のアルゴリズムを比較的簡単に実装できそうです。

さらに、出力結果を確認すると互いの関係がよく分かるようになります。

例えば、「7」（深緑色：左上）と「9」（黄緑色：左上）は互いに近くに分布しています。

一方で、「7」（深緑色：左上）と「0」（赤色：右下）は互いに遠く分布しています。

ここから「7」と「9」は同じような特徴があり、「7」と「0」は異なる特徴を有していることが示唆されます。

さいごに

今回は「t-SNE」について解説し、MNIST データに適用してみました！

「t-SNE」は、高次元データを低次元データへと変換する比較的新しい分析手法です。

「t-SNE」のアイディアの核は、高次元データ上でのデータ間の距離を確率として表現し、それとできるだけ同じような、低次元データ上でのデータ間の距離（確率）をとる点を探すことです。

「t-SNE」を用いると、高次元データを低次元データへと簡単に可視化できます。

ぜひ、「t-SNE」をご自身のデータにも適用してみてください！

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